Теорія ймовірностей та математична статистика

Відповідальний лектор

Марченко Ігор Іванович

1. Передмова.

1.1. Предмет навчальної дисципліни, її наукові і методичні основи, мета викладання і завдання дисципліни.

Предметом дисципліни являється технологія та реалізація типових та сучасних ймовірнісних методів для розрахунку технічних, фізичних та економічних задач.

Дисципліна має метою дати студентам основні поняття теорії ймовірностей; розвити імовірнісне мислення; ознайомити студентів із основними задачами інженерної практики, в яких необхідним є приклад методів теорії ймовірностей.

1.2. Що студент повинен знати, вміти і з чим бути ознайомленим в результаті вивчення дисципліни.

В результаті вивчення дисципліни студент повинен знати:

  • основні ймовірнісні моделі, що використовуються на практиці;
  • основні ймовірнісні розподіли;
  • методи рішення основних задач теорії ймовірностей;
  • основні задачі математичної статистики, які використовуються на практиці;
  • основні методи оцінки невідомих параметрів;
  • методи рішення основних задач математичної статистики.

В результаті вивчення дисципліни студент повинен вміти:

  • рішати типову задачу, пов’язану із стандартною імовірнісною моделлю;
  • чисельно оцінювати ймовірність той чи іншої події, пов’язаної з випадковими величинами, що розподілені згідно одному з стандартних розподілів;
  • будувати емпіричну функцію розподілу, гістограму;
  • знаходити вибіркове середнє, дисперсію, коефіцієнт кореляції;
  • точкові та інтервальні оцінки невідомих параметрів;
  • застосовувати критерії хі-квадрат i Колмогорова для перевірки статистичних гіпотез;
  • будувати лінійну регресію.

1.3. Організаційно-методичні указники щодо організації і методики проведення усіх видів навчальних занять, організації і виконання індивідуальних завдань.

Організаційно-методичними вказівками щодо організації і методики проведення усіх видів навчальних занять є: «методичні вказівки по курсу Теорія ймовірностей та математична статистика», оформлено у вигляді електронних файлів.

1.4. Система контролю якості навчання студентів.

Контроль якості навчання студентів здійснюється проведенням модульного контролю згідно з переліком контрольних робіт, виконанням студентами лабораторних завдань, складанням студентами вихідних заліків та іспиту.

1.5. Організація самостійної роботи.

Для організації самостійної роботи студентів виділяється час для використання обчислювальної техніки. Під час самостійної роботи студенти вивчають передбачений для самостійної роботи матеріал, досліджують засоби, які передбачені для вивчення та подані їм приклади програмних застосувань, виконують завдання передбачені лабораторними роботами, готують звіти з виконаних лабораторних робіт.

2. Зміст дисципліни.

Розділ 1. Теорія ймовірностей.

Модуль 1.Основні поняття та теореми теорії ймовірностей.

Тема 1. Основні поняття теорії ймовірностей. Ймовірність та її визначення. Випадкові та детерміновані величини. Дискретні та неперервні випадкові величини. Класичне визначення ймовірності.

Тема 2. Основні теореми теорії ймовірностей. Теорема додавання ймовірностей. Теорема множення ймовірностей. Формула Байєса. Формула Бернуллі. Формула повної ймовірності. Теорема про повторення дослідів.

Тема 3. Закони розподілу випадкових величин. Дискретні закони розподілу. Функція розподілу і густина розподілу ймовірностей випадкової величини. Чисельні характеристики розподілу ймовірностей випадкової величини. Вироджений розподіл. Геометричний розподіл. Гіпергеометричний розподіл. Розподіл Бернуллі. Закон Пуассона.

Модуль 2.Закони розподілу випадкових величин та функцій випадкових.

Тема 4. Непереривні випадкові величини. Нормальний закон розподілу. Закон рівномірної густини. Чисельні характеристики непереривних випадкових величин. Експоненціальний розподіл. Нормальний закон розподілу ймовірностей. Системи випадкових величин.

Тема 5. Закони розподілу функцій випадкових аргументів. Системи випадкових величин. Розподіл ймовірностей двох випадкових величин. Чисельні характеристики розподілу ймовірностей системи випадкових величин. Теорема збереження диференційної ймовірності. Закони розподілу функцій випадкових аргументів. Закон розподілу функції одного випадкового аргументу. Закон розподілу суми випадкових величин. Тема 6. Композиція нормальних законів. Граничні теореми теорії ймовірностей. Композиція законів розподілу. Розподіл хі-квадрат.

Тема 6. Граничні теореми теорії ймовірностей. Нерівність Чебишова. Теорема Чебишова. Теорема Ляпунова.

Розділ 2. Математична статистика.

Модуль 3. Обробка статистичної інформації.

Тема 7. Основні поняття i задачі математичної статистики. Основні поняття i задачі математичної статистики. Генеральна i вибіркова сукупності. Спеціальні закони розподілу у математичній статистиці. Застосування основні законів розподілу. Емпірична функція розподілу. Кумулятивна функція розподілу. Візуальне відображення статистичної інформації.

Тема 8. Статистична теорія оцінювання невідомих параметрів. Непараметричне i параметричне оцінювання. Статистичні оцінки та їх властивості. Методи оцінювання для різних стохастичних моделей. Оцінювання невідомої функції розподілу. Обчислення ймовірності попадання на заданий інтервал.

Тема 9. Методи оцінювання невідомих параметрів. Оцінка параметрів, класифікація оцінок. Нерівність Крамера-Рао. Методи оцінювання невідомих параметрів. Методи побудови оцінок. Метод моментів. Метод найменших квадратів. Метод максимальної правдоподібності. Метод максимальної правдоподібності. Інтервальне оцінювання. Довірча ймовірність. Довірчий інтервал.

Модуль 4. Перевірка стохастичних гіпотез. Задачі лінійного та регресійного аналізу.

Тема 10. Перевірка гіпотез i елементи послідовного стохастичного аналізу. Поняття стохастичної гіпотези i стохастичного критерію. Прості i складні гіпотези. Критерій значущості. Поняття стохастичної гіпотези i стохастичного критерію. Потужність критерію, класифікація оцінок. Теорія найліпшого оцінювання Неймана-Пiрсона. Перевірка гіпотез про математичне очікування. Застосування критерію Ст’юдента. Перевірка гіпотез про дисперсію. Критерій згоди хі-квадрат Пірсона. Статистична перевірка гіпотез приналежності однієї вибірки генеральної сукупності. Статистична перевірка непараметричних гіпотез. Критерій згоди Колмогорова. Критерій згоди Колмагорова-Смірнова. Критерій знаків. Статистична перевірка гіпотез приналежності двох вибірок однієї генеральної сукупності.

Тема 11. Лінійний регресійний аналіз. Лінійна регресія. Коефіцієнт кореляції. Кореляційне відношення. Регресійний аналіз