Чисельні методи

Відповідальний лектор

Марченко Наталя Андріївна

1. Передмова.

1.1. Предмет навчальної дисципліни, її наукові і методичні основи, мета викладання і завдання дисципліни.

Курс «Чисельні методи. Частина 1 і 2» ставить своєю ціллю ознайомлення студентів з основними розділами комп’ютерної обчислювальної математики, які широко використовуються в проектуванні та розробці математичного та програмного забезпечення сучасних ЕОМ.

Предметом дисципліни є технологія та реалізація типових та сучасних чисельних методів для розрахунку технічних, фізичних та економічних задач.

Науковою основою вивчення дисципліни є загальна математична підготовка студентів і зміст дисциплін «Алгебра і геометрія», «Математичний аналіз», «Диференціальні і різницеві рівняння», а також існування математичних пакетів в операційній системі Windows.

Методологічною основою викладання дисципліни є загальні методи розв’язування та програмування математичних задач, об’єктно-орієнтованого програмування, які поєднують лекційні, практичні та лабораторні заняття разом з самостійною роботою студента.

Методологічною основою викладання дисципліни є загальні методи розв’язування математичних задач, які поєднують лекційні та практичні заняття разом з самостійною роботою студента.

Мета викладання дисципліни полягає в наданні студентам методики розв’язання основних задач чисельного аналізу, що виникають в інженерній та науковій практиці і навичок розв’язання чисельних задач на ЕОМ і конструювання на цій основі програмного та математичного забезпечення.

1.2. Що студент повинен знати, вміти і з чим бути ознайомленим в результаті вивчення дисципліни.

В результаті вивчення дисципліни студент повинен знати:

  • принципи побудови чисельних алгоритмів;
  • основні методи обліку погрішностей чисельних розв’язки;
  • методи одержання чисельних розв’язки на ЕОМ.

В результаті вивчення дисципліни студент повинен вміти:

  • аналізувати та розробляти алгоритми для розв’язання задач за допомогою чисельних методів;
  • розробляти програмні застосування з використанням чисельних методів засобами візуального проектування;
  • використовувати засоби математичних пакетів MathCad і MatLab;
  • оцінювати погрішність та проаналізувати отриманий розв’язок.

1.3. Організаційно-методичні вказівки щодо організації і методики проведення усіх видів навчальних занять, організації і виконання індивідуальних завдань.

Організаційно-методичними вказівками для організації і проведення занять є комплект з одинадцяти методичних вказівок для проведення занять загальним обсягом понад 500 сторінок. Ці методичні вказівки також доступні студентам в електронному вигляді.

1.4. Система контролю якості навчання студентів.

Контроль якості навчання студентів здійснюється проведенням поточного контролю згідно з переліком контрольних робіт, виконанням студентами розрахункового завдання та курсової роботи, складанням студентами вихідних іспитів.

1.5. Організація самостійної роботи.

Для організації самостійної роботи студентів виділяється час для підготовки до практичних і лабораторних занять і виконання студентами розрахункового завдання та курсової роботи. Під час самостійної роботи студенти вивчають передбачений для самостійної роботи матеріал, досліджують приклади, виконують передбачені завдання і оформлюють їх.

2. Зміст дисципліни.

Вступ.

Введення до вивчення дисципліни. Предмет дисципліни. Мета викладання дисципліни. Завдання дисципліни.

Розділ 1. Наближене обчислення функцій в умовах неповних даних.

Тема 1. Поняття систематичних і випадкових помилок обчислень. Погрішність обчислення значень функції.

Тема 2. Класифікація методів опрацювання таблично-заданих даних. Методи інтерполяції таблично-заданих функцій.

Тема 3. Методи апроксимації і екстраполяції таблично-заданих функцій.

Розділ 2. Знаходження нулів функцій.

Тема 1. Класифікація поліномів та їх нулів. Розв’язання алгебраїчних рівнянь вищих ступенів та трансцендентних рівнянь. Нестійкість знаходження нулів функцій.

Тема 2. Ітераційні методи розв’язання алгебраїчних і трансцендентних рівнянь.

Тема 3. Ітераційні методи розв’язання систем нелінійних рівнянь.

Тема 4. Локалізація дійсних коренів нелінійних рівнянь.

Розділ 3. Чисельне диференціювання.

Тема 1. Диференціювання таблично заданих функцій за допомогою інтерполяції. Чисельне знаходження похідних від аналітичних функцій.

Тема 2. Диференціювання таблично заданих функцій за допомогою апроксимації.

Розділ 4. Чисельні методи обчислення визначених інтегралів.

Тема 1. Методи наближеного інтегрування. Квадратурні формули інтерполяційного типу.

Тема 2. Алгебраїчна міра точності квадратурної формули. Квадратурні формули найвищої алгебраїчної точності.

Тема 3. Обчислення інтегралів, що мають особливості. Обчислення двохкратних і трьохкратних інтегралів. Знаходження значень невласних інтегралів.

Тема 4. Обчислення багатократних інтегралів. Квадратурні формули Коробова. Поняття про метод статистичних випробувань для знаходження значень наближеного інтегрування.

Тема 5. Оцінка погрішності чисельного інтегрування.

Розділ 5. Чисельні методи розв’язання задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь.

Тема 1. Чисельні методи розв’язання задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку.

Тема 2. Чисельні методи розв’язання задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку з автоматичної зміною кроку.

Тема 3. Чисельні методи розв’язання задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку та диференціальних рівнянь вищих порядків.

Тема 4. Чисельні методи розв’язання крайових задач диференціальних рівнянь другого порядку.

Тема 5. Чисельні методи розв’язання диференціальних рівнянь в частинних похідних.

Розділ 6. Типи обчислювальних задач лінійної алгебри.

Тема 1. Типи матриць, що зустрічаються в практичних задачах. Основні визначення.

Тема 2. Норми векторів і матриць.

Тема 3. Типи й джерела обчислювальних задач лінійної алгебри.

Розділ 7. Прямі методи розв’язання систем лінійних рівнянь.

Тема 1. Зумовленість системи лінійних рівнянь.

Тема 2. Метод виключення Гаусса. LU-розклад матриць.

Тема 3. Обчислювальна погрішність методу Гаусса. Вибір провідного елемента виключення.

Тема 4. Обчислення визначника й оберненої матриці за допомогою LU-розкладу.

Тема 5. Додатно визначені матриці. Метод квадратних коренів.

Тема 6. Модифікація методу Гаусса для стрічкових матриць.

Розділ 8. Ітераційні методи розв’язання систем лінійних рівнянь.

Тема 1. Принципи побудови ітераційних процесів.

Тема 2. Метод простої ітерації.

Тема 3. Метод Зейделя.

Розділ 9. Класичні методи знаходження власних значень і векторів.

Тема 1. Класифікація методів знаходження власних значень і векторів. Критерії локалізації власних значень.

Тема 2. Стійкість проблеми власних значень і векторів.

Тема 3. Метод А.М. Крилова визначення власних значень і векторів.

Тема 4. Метод Леверьє-Фадеєва визначення власних значень і векторів.

Тема 5. Метод А.М. Данилевського визначення власних значень і векторів.

Розділ 10. Ітераційні методи розв’язання проблеми власних значень і векторів.

Тема 1. Характеристика ітераційних методів.

Тема 2. Приведення матриці до майже трикутного виду.

Тема 3. Розкладання матриці на добуток ортогональної й трикутної.

Тема 4. QR-алгоритм визначення власних значень.

Тема 5. Прискорення збіжності QR-алгоритму.

Тема 6. Неявний QR-алгоритм з подвійним зрушенням.

Тема 7. Визначення власних векторів.

Тема 8. Алгоритми для симетричної проблеми власних значень.